摘 要： 针对压电陶瓷定位系统中电容传感器故障对定位精度的影响，对使用扩展卡尔曼滤波（EKF）进行容错控制的方法进行了研究。以传感器采样电路故障和掉电故障为对象，对三阶轨迹规划算法下电容传感器的EKF滤波公式进行了分析，提出以离散化迭代计算的EKF代替传统的将非线性系统线性化的方法。在压电陶瓷定位系统实验平台上，使用激光干涉仪作为测量基准，在传感器采样电路故障和掉电故障的情况下，实现了500 μm行程，绝对精度小于3.5 μm，误差小于0.7%的定位控制。结果表明，基于EKF的电容传感器容错控制可以有效减小传感器故障引起的控制误差，增加压电陶瓷定位系统的鲁棒性。

　　关键词： 压电陶瓷； 电容传感器； 扩展卡尔曼滤波（EKF）； 容错控制

　　中图分类号： TN820.3?34 ；TP273+.5 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）21?0152?04

　　Fault tolerance control of capacitance transducer in

　　piezoelectric ceramic positioning system

　　GUO Jia?liang， LI Peng?zhi， LI Pei?yue

　　（State Key Laboratory of Applied Optics， Changchun Institute of Optics， Fine Mechanics and Physics， CAS， Changchun 130033， China）

　　Abstract： As the failure of capacitance transducer has a big impact on tracking accuracy of the piezoelectric ceramic positioning system， the methodology of using extended Kalman filter （EKF） to implement the fault tolerance control is investigated in this paper. Aiming at the sampling circuit failure and the power failure of the transducer， an EKF filtering formula of capacitance transducer under three?order trajectory planning algorithm is analysed. The method that the discrete iterative EKF algorithm is taken to replace the traditional method is introduced. Positioning control experiment is performed with the benchmark of the laser interferometer. The results indicate that the proposed method can achieve 0.7% maximum tracking errors， with the deviation of ±3.5 μm， in a stroke of 500 μm. The experimental results indicate that the fault tolerance control method based on EKF can the control error caused by transducer fault and increase the robustness of the piezoelectric ceramic positioning system.

　　Keywords： piezoelectric ceramic； capacitance transducer； extended Kalman filter； fault tolerance control

　　0 引 言

　　压电陶瓷定位系统通常是由压电陶瓷执行器作为驱动器及电容传感器作为位移传感器而构成的闭环定位系统[1]。由于压电陶瓷定位系统具有高精度和高速度的特性，被广泛地应用于光刻物镜调节机构和干涉仪移相器等领域[2?3]。当这种闭环控制的反馈信号惟一依赖于电容传感器测量值时，如果电容传感器产生在线故障，未经过处理的故障信号会增大系统稳态误差，严重时会造成系统不稳定[4?5]。

　　卡尔曼滤波是一种使用递归方法解决线性滤波问题的最优估计算法，可有效过滤掉随机干扰，准确地恢复出原始信号[6]，在组合导航系统中，基于自适应卡尔曼滤波器的信息融合方法，可以有效增加系统的定位精度及鲁棒性[7]；在多机器人协同控制中，扩展卡尔曼滤波（EKF）可以有效解决定位控制中非线性模型的预测问题[8]；由于不需要对非线性系统的状态方程和观测方程进行线性化，并且不需要计算状态转移矩阵的雅可比矩阵，无迹卡尔曼滤波（UKF）在飞行器轨迹跟踪领域也有广泛应用[9]；近年来，EKF在控制系统传感器故障容错控制领域得到广泛应用，EKF是针对经典卡尔曼滤波方法的非线性化推广，在永磁同步电机控制系统中，EKF可以根据电机的先验状态参数准确估计当前转子位置，实现无传感器电机控制[10]或者故障诊断[5]；在发动机故障诊断和容错控制中EKF的应用也取得了一定的进展[11]。

　　本文首先对压电陶瓷定位系统电容传感器典型故障进行分析；其次，针对三阶轨迹规划算法，将位移轨迹作为被估计的过程，通过对被估计过程EKF滤波公式的分析，提出一种基于离散迭代的EKF算法以替代传统非线性系统近似线性化的方法；最后，通过实验对基于EKF的容错控制方法的效果进行了验证，结果表明该方法行之有效。 　　1 问题描述

　　光刻物镜可调机构的压电陶瓷定位系统如图1所示，控制算法通过PC机端的Matlab/Simulink设计完成之后，通过RTW下载至目标机的xPC Target实时内核，目标机内置有NI公司的PCI?6229数据采集卡，xPC Target通过PCI?6229的D/A通道向驱动控制箱发送控制指令，驱动控制箱根据指令驱动压电陶瓷执行器，并将读回的电容传感器测量数值传送至PCI?6229的A/D通道，反馈给xPC Target。

　　如图1所示，xPC Target目标机与驱动控制箱之间采用模拟信号连接，电容传感器与驱动控制箱之间也采用模拟信号连接，相比于其他链路，这些模拟通道出现故障的概率更大。图2是模拟通道典型故障的反馈值，在0.6～0.8 s之间电容传感器第8个数据位出现故障、在1 s之后电容传感器出现掉电故障。可见，故障时位移测量值与实际值出现较大偏差。因此，在将这些包括不准确值的测量值反馈至控制器之前，对其进行必要的容错处理显得尤为重要。

　　图1 压电陶瓷定位系统

　　2 扩展卡尔曼滤波

　　将压电陶瓷定位系统的位移轨迹作为被估计的过程[X]，那么这个过程的状态变量[xk]即表示[k]时刻的位移值，对于文献[1]中应用于压电陶瓷定位系统的三阶轨迹规划算法，这个过程[X]的状态变量[xk]可以由以下离散差分方程描述：

　　[xk=xk-1+vk-1ts+ak-1t2s2+Jmt3s6] （1）

　　式中：[ts]为采样周期；[Jm]为最大冲击值常量；[ak-1，][vk-1，][xk-1]分别为[k-1]时刻加速度值、速度值、位移值。显然[ak，][vk，][xk]均为时变参数，可见被估计过程的[X]是一个离散的非线性过程。

　　图2 电容传感器故障时位移测量值

　　针对离散非线性过程，卡尔曼滤波变形为如下离散的扩展卡尔曼滤波公式[6]：

　　[xk/k-1=xk-1+f（xk-1）？Ts] （2）

　　[Pkk-1=Φkk-1Pk-1Φkk-1T+Qk-1] （3）

　　[xk=xkk-1+Kk（yk-Hkxkk-1）] （4）

　　[Pk=Pkk-1-KkHkPkk-1] （5）

　　[Kk=Pkk-1HkT（HkPkk-1HkT+R）-1] （6）

　　在传统的扩展卡尔曼滤波中，公式（2）中的[f（？）]是由非线性函数经过泰勒级数展开，截去高阶项后得到的近似线性化函数。这种线性化的近似计算存在两个方面的缺陷：一方面，需要通过大量的在线仿真或实验才能获得精度和速度相对较好的滤波系数[5]；另一方面，随着递归算法的向前推移，泰勒级数高阶项权重可能不断增加，导致最终估计量误差较大[6]。

　　为解决以上问题，将公式（1）改写为公式（7）的形式：

　　[xk=xk-1+f（xk-1）ts] （7）

　　而公式（7）中的[f（？）]可以由公式（8）递推求得[1]，公式（8）中各参数意义与公式（1）相同：

　　[f（xk）=vk+akts2+Jmt2s6vk=vk-1+ak-1ts+Jmt2s2ak=ak-1+Jmts] （8）

　　由公式（7）和公式（8）可见，在将压电陶瓷定位系统的位移轨迹视作被估计过程[X]时，其扩展卡尔曼滤波公式（2）中的线性化函数[f（？）]同样可以由三阶轨迹规划的递推过程求得，避免了传统的将非线性系统线性化的复杂计算过程。

　　离散扩展卡尔曼滤波式（2）～式（6）中其余参数的含义说明如表1所示。

　　至此，在三阶轨迹规划算法下，压电陶瓷定位系统位移量的扩展卡尔曼滤波器可由图3表示，其中，状态预测对应公式（2），协方差预测对应公式（3），状态校正对应公式（4），协方差校正对应公式（5），增益更新对应公式（6）。

　　表1 离散扩展卡尔曼滤波器参数表

　　[参数＼&参数含义＼&[xk/k-1]＼&[k]时刻基于[k-1]时刻的预测估计＼&[xk-1]＼&[k-1]时刻的最优估计＼&[Ts]＼&采样周期＼&[Pkk-1]＼&[xk/k-1]的协方差＼&[Φkk-1]＼&转移矩阵＼&[Pk-1]＼&[xk-1]的协方差＼&[Qk-1]＼&过程噪声的协方差＼&[xk]＼&[k]时刻的最优估计＼&[Kk]＼&卡尔曼滤波增益＼&[yk]＼&观测变量＼&[Hk]＼&为观测增益＼&[Pk]＼&[xk]的协方差＼&[R]＼&观测噪声的协方差＼&]

　　图3 扩展卡尔曼滤波器

　　3 实验与分析

　　为了对如图1所示的压电陶瓷定位系统中位移的测量值和EKF估计值做出准确评价，实验过程中使用Renishaw公司的XL?80型激光测长干涉仪作为测量基准，搭建了如图4所示的实验平台。其中，执行器为Physik Instrumente公司的N?111型压电陶瓷驱动器，传感器为D?E30型电容传感器。

　　实验采用的控制方案如图5所示，其中，扩展卡尔曼滤波器将电容传感器信号滤波之后反馈至PID控制器，PID控制器根据此反馈信号和三阶轨迹规划的输出信号，对压电陶瓷执行器的控制量做出计算。

　　实验中EKF滤波公式各参数赋值如下：采样周期[Ts]与系统相同，为0.001 s；过程噪声与N?111型压电陶瓷执行器的定位精度相关，根据对N?111大量实验数据的统计分析结果，过程噪声方差[Qk-1]取值[5×10-4]；观测变量[yk]为电容传感器在线测量值，观测噪声与电容传感器精度相关，经过对D?E30型电容传感器大量实验数据的统计分析结果，观测噪声方差[R]取值为[2.5×10-4]；观测增益[Hk]取值为1，转移矩阵[Φkk-1]由算式[Φkk-1=I+f（tk-1）Ts]在线求得；EKF的初始条件为[x0=0，][P0=1]。

　　图4 压电陶瓷定位系统实验平台

　　图5 电容传感器容错控制方案

　　实验过程中，当电容传感器在0.6～0.8 s之间第8个数据位出现故障、在1 s之后出现掉电故障，干涉仪测量值与EKF的估计值结果如图6所示，EKF估计值误差的绝对值如图7所示。

　　图6 干涉仪测量值与EKF估计值

　　图7 EKF估计值误差绝对值

　　由图6和图7的实验结果可知，当电容传感器出现故障时，虽然EKF估计值的绝对误差和方差均有所增加，但绝对误差仍被控制在3.5 μm之内，相比于图2中未加EKF时的结果，滤波效果显著。对于压电陶瓷定位系统而言，EKF可以有效实现对电容传感器的容错控制。

　　4 结 语

　　本文将压电陶瓷定位系统位移轨迹作为被估计的过程，对其扩展卡尔曼滤波分析后，提出基于三阶轨迹规划离散迭代算法的扩展卡尔曼滤波方法，这种方法可以有效避免非线性系统近似线性化的截断误差，避免大量的寻优实验。实验结果表明所提出的EKF算法能够准确地估计出压电陶瓷定位系统的位移轨迹，实现了电容传感器容错控制，提高了控制系统的鲁棒性。

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